认识等比数列，最先需要了解等比数列的公式与概念。等比数列是指数列中任意一项与其前项的比等于任意一项与其后项之比，并且通项公式为 $a_n=a_1*q^{n-1}$，其中 $a_n$ 为数列第 $n$ 项，$a_1$ 为首项，$q$ 为公比。
如果一道题目给出等比数列的前 $n$ 项和或某一项，而需要求解的便是数列的首项和公比。这时候我们就可以使用等比数列公式来解决问题。
例如题目给出了等比数列 $1, 2, 4, 8, 16$ 的前 $n$ 项和为 $31$，需要求解该等比数列的首项 $a_1$ 和公比 $q$。
我们知道通项公式为 $a_n=a_1*q^{n-1}$，$1 2 4 8 16=a_1* rac{q^n-1}{q-1}$。同时，因为公比 $q>0$，$a_1>0$，$a_1* rac{q^n-1}{q-1}>0$ 所以 $q>1$。
利用等比数列公式化解可得，$a_1= rac{S_1}{q-1}$，其中 $S_1$ 为数列前一项和，即 $S_1=a_1 a_1q$。
将前 $n$ 项和带入可得 $31=1 2 4 8 16= rac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，又因为 $a_1= rac{S_1}{q-1}$，则 $31= rac{(1 2 4 8 16)*(1-q)}{1-q^n}$，解方程可得 $a_1=1$，$q=2$。
因此，原等比数列的首项为 $1$，公比为 $2$。
