寻趣数学第一弹：锅中之谜
它是一个由二维锅底和封闭圆盖组成的装置，圆盖直径 T，且 T 足够大，使得一些球体可以在锅里躲起来。我们想用锅中的水覆盖锅底，并将盖子放在水位以下，使得水能够全面覆盖锅底，问：盖子最小的高度 H 要多少？
解：我们假设锅底是一个半径为 R 的圆，圆心为 O。我们将锅底按半径等分成无数个同心圆，中心角为 dθ。则每一块的宽度为 a=dRsinθ，高度为 b=dRcosθ，每一块的面积为 S=(adθ)/2。锅高 h=R H，令每一块与盖子底面相切，则有 b=R H-d。
锅底的面积为 S0=πR²，盖子的面积为 S1=πT²/4。水深为 H 时，锅里水的体积为 V0=2/3πR²H，根据勾股定理，每一块的高度可表示为：b²=H²-(R-sinθ)²
则有： S1/S0=1-Σ(S-S')/S0=1-Σ(2adθ/S0)(H²-(R-sinθ)²)
Σ表示连续积分，从 0 到 π/2 面积之和
将 S 用 sinθ 和 cosθ 表示，再积分，得到 H²=4R²-πT²/2
因此，盖子最小高度 H=√(4R²-πT²/2)-R，其中 R 和 T 都是已知量，可求得 H 的大小。
以上就是寻趣数学的第一篇，锅中之谜！敬请期待下一期！
